На рисунке изображены части графиков найдите ординату точки пересечения

На рисунке изображены части графиков функций F(x)=k X и G(x)=c X+d ЕГЭ по математике профильный уровень

На рисунке изображены части графиков функций f(x)=\displaystyle \frac{k}{x} и g(x)=\displaystyle \frac{c}{x}+d. Найдите ординату точки пересечения графиков этих функций.

На рисунке изображены части графиков функций 1

Решение:

Верхний график на рисунке не пересекает ось Ox, значит не имеет смещения вдоль оси Oy. Поэтому он принадлежит первой функции f(x)=\displaystyle \frac{k}{x}. Тогда второй (нижний) график на картинке принадлежит функции g(x)=\displaystyle \frac{c}{x}+d так как пересекает ось Ox, а значит, работает коэффициент d, смещающий график вниз.

Для первого графика даны точки (2;3) и (6;1), а для второго графика: (1;1) и (3;1). Они нам помогут определить коэффициенты k, c, d.

Графики с координатами

Кстати, коэффициент d вы можете определить сразу по графику, видно что ассимптота графика (на графике показана пунктирной линией) смещена вниз на 2 деления (по сравнению со стандартным графиком параболы, где ассимптота совпадает с осью абсцисс) и совпадает с прямой y=-2. Таким образом, можно сразу сказать, что d=-2.

Подставим значения первой точки (2;3) в уравнение f(x)=\displaystyle \frac{k}{x} и найдем k:

3=\displaystyle \frac{k}{2}

k=6.

Выполним проверку, подставим теперь уже в определенной уравнение функции f(x)=\displaystyle \frac{6}{x} координаты второй точки (6;1):

1=\displaystyle \frac{6}{6}

1=1.

Итак, с первой функцией определились. Теперь определим и вторую. Поскольку во второй функции у нас два неизвестных c и d, то нам понадобится система из двух уравнений. Первое уравнение мы получим, подставив координаты первой точки (1;1), а второе уравнение получим, подставив координаты второй точки (3;1).

\begin{cases} \displaystyle 1=\frac{c}{1}+d, \\ \displaystyle -1=\frac{c}{3}+d, \end{cases}

Из первого уравнения системы выразим d:

\begin{cases} d=1-c, \\ -1=\frac{c}{3}+d, \end{cases}

\begin{cases} d=1-c, \\ \displaystyle -1=\frac{c}{3}+1-c, \end{cases}

Решаем второе уравнение системы:

\displaystyle -2=\frac{c}{2}-c

\displaystyle -2=\frac{-2c}{3}

c=3

Получим:

\begin{cases} d=1-c, \\ c=3, \end{cases}

\begin{cases} d=-2, \\ c=3, \end{cases}

Тогда уравнение второй функции будет иметь вид: \displaystyle g(x)=\frac{3}{x}-2

Получили две функции \displaystyle f(x)=\frac{6}{x} и \displaystyle g(x)=\frac{3}{x}-2. В точке пересечения графиков функций значения их совпадают, значит, f(x)=g(x), получим уравнение:

\displaystyle \frac{6}{x}=\frac{3}{x}-2

\displaystyle \frac{6}{x}-\frac{3}{x}=-2

\displaystyle \frac{3}{x}=-2

\displaystyle x=-\frac{3}{2}.

Мы нашли абсциссу точки пересечения, но нам надо найти ординату этой точки. Подставим полученное значение в любое из уравнений f(x) или g(x).

\displaystyle f(\frac{-3}{2})=\frac{6}{-\frac{3}{2}}=\frac{-12}{3}=-4.

Графики функций и точка пересечения

Ответ: -4.

Оцените статью
( 4 оценки, среднее 5 из 5 )
математика-повторение
Подписаться
Уведомить о
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии