Найдите наименьшее значение функции y=x√x-27x+6 на отрезке [1; 422]

Найдите наименьшее значение функции Y=x√x 27x+6 на отрезке ЕГЭ по математике профильный уровень

Найдите наименьшее значение функции y=x \sqrt{x}-27x+6 на отрезке [1; 422].

Решение: Мы знаем, что для того, чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нам необходимо определить критические точки функции.

Критические точки функции — это те точки, где на графике функции наблюдается максимум или минимум. В этих точках производная функции равна нулю.

Если такая точка попадет внутрь отрезка, то мы определим в ней значение функции. Еще мы подсчитаем значение функции на концах отрезка, то есть определим y(1) и y(422). Сравним все полученные значения функции — в критических точках, в точках начала и конца отрезка и среди этих значений выберем наименьшее. Таков наш план.

Теперь начнем определять критические точки функции, для этого найдем ее производную.

y'(x)= (x \sqrt{x}-27x+6)'=(x\sqrt{x})'-(27x)'+6'=(x^{\frac{3}{2}})'-27=\frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}}-27

Здесь мы заменили произведение x \sqrt{x}=x \cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{1+\frac{1}{2}}=x^{\frac{3}{2}} — все-таки находить производную от произведения сложнее, чем производную от степени. Упростили себе задачу.

Теперь приравняем производную к нулю:

y'(x)=0

\frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}}-27=0

\sqrt{x}=18

x=18^2

x=324.

Мы нашли критическую точку x=324, она лежит внутри отрезка [1,422]. Теперь посмотрим, какое будет значение функции в этой точке: y(324)=324 \cdot \sqrt{324}-27\cdot 324+6=18 \cdot 324 - 27 \cdot 324 +6=-9 \cdot 324 +6=-2910.

Теперь определим какие значения принимает функция на границах отрезка:

  1. y(1)=1-27+6=-20
  2. y(422)=422 \sqrt{422}-27 \cdot 422+6 \approx 8669-11394+6 \approx -2719.

Получается, что значение функции -2910 является наименьшим, среди трех значений. Конечно, на экзамене нарисовать функцию не получится, разве что схематически, но мы решили в рамках объяснения нарисовать вам эту функцию, чтобы вы могли увидеть — что значение в точке x=324 действительно наименьшее.

y=x√x-27x+6
y=x√x-27x+6

Ответ: -2910.

Оцените статью
( 3 оценки, среднее 5 из 5 )
математика-повторение
Подписаться
Уведомить о
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии