Найдите корень уравнения 4^(5х+2) = 0,8·5^(5х+2) из ЕГЭ

Найдите корень уравнения 4^(5х+2) = 0,8·5^(5х+2)

На чтение 2 мин. Просмотров 18.9k.

Решение уравнений очень часто вызывает затруднение у школьников. Поэтому подробно решим одно из них — показательное уравнение (уравнение, где корень находится в показателе степени). Решим показательное уравнение в качестве примера решения первого задания из ЕГЭ по математике профильного уровня, которое звучит так: найдите корень уравнения $4^{5x+2}=0,8 \cdot 5^{5x+2}$ .

Решение:

Цель преобразований исходного уравнения

Чтобы решить показательное уравнение — нужно добиться, чтобы и справа, и слева у нас была одинаковая степень. Если же этого добиться невозможно, можно попытаться прологорифмировать правую и левую части уравнения, чтобы добиться одинаковых логарифмов, на которые потом можно будет сократить левую и правую части.

Но, похоже, что в данном уравнении логарифмировать нам не придется.

Преобразуем уравнение в следующем виде: $\displaystyle 4^{5x} \cdot 4^2=0,8 \cdot 5^{5x} \cdot 5^2$ .

Мы применили свойство степени, при котором при умножении степеней с одинаковым основанием, показатели степени складываются. Значит, и степени, у которых показатели представлены в виде суммы, можно записать в виде такого произведения степеней с одинаковым основанием.

Тогда, получим:

$\displaystyle 4^{5x}\cdot 16=25 \cdot 0,8 \cdot 5^{5x}$ или

$\displaystyle 16 \cdot 4^{5x}= 20 \cdot 5^{5x}$ .

Разделим левую и правую части уравнения на $\displaystyle 5^{5x}$ , получим:

$\displaystyle 16 \cdot (\frac{4}{5})^{5x}=20$ .

Здесь мы применили свойство степени, при котором деление степеней с разными основаниями, но с одинаковыми показателями степени можно заменить дробью, возведенную в этот показатель.

Разделим теперь левую и правую части уравнения на 16:

$\displaystyle (\frac{4}{5})^{5x}=\frac{20}{16}$

или

$\displaystyle (\frac{4}{5})^{5x}=\frac{5}{4}$ .

Так как $\displaystyle \frac{5}{4}=(\frac{4}{5})^{-1}$ , то

$\displaystyle (\frac{4}{5})^{5x}=(\frac{4}{5})^{-1}$ ,

и мы добились одинакового основания справа и слева от знака равенства. Если основания равны, то должны быть равны и показатели степени, получаем простое уравнение:

$\displaystyle 5x=-1$ ,

$\displaystyle x=\frac{-1}{5}$

$\displaystyle x=-0,2$ .

Ответ: -0,2

Итак, для решения данного уравнения нам понадобилось знать свойства степени и держать в голове цель — привести справа и слева от знака равенства одинаковое основание степени.

Свойства степеней вы можете посмотреть в этой статье: Свойства степени с натуральным показателем.