Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 30

Около окружности описана трапеция периметр которой равен 30 (1) ЕГЭ по математике профильный уровень
Простая задача по геометрии из сборника типовых заданий ЕГЭ. Простая - если знать свойство четырехугольника, в который вписана окружность. А если не знать - практически нерешаемая.

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 30. Найдите длину ее средней линии.

Около окружности описана трапеция периметр которой равен 30

Решение: Не в каждую трапецию можно вписать окружность. Если это возможно, то стороны такой трапеции обладают следующим свойством:

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон трапеции равны: a+b=c+d

Рисунок к задаче с обозначениями

Таким образом, сумма длин сторон трапеции равна половине ее периметра. Так как a+b=c+d, и a+b+c+d=30. Заменим c+d на a+b, получим:

a+b+a+b=30

или

2a+2b=30

или 2(a+b)=30.

Отсюда:

a+b=15.

Так как средняя линия трапеции равна половине суммы ее оснований, то находим:
m=\displaystyle \frac{a+b}{2}=\frac{15}{2}=7,5.

Ответ: 7,5

Оцените статью
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
математика-повторение
Подписаться
Уведомить о
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии