Решите уравнение sin2x-2sin(-x)=1+cos(-x)

Решите уравнение sin2x-2sin (-x)=1+cos (-x)

На чтение 4 мин. Просмотров 4.7k.

В задании нужно решить тригонометрическое уравнение, затем определить какие корни попали в указанный отрезок на тригонометрическом круге. Для решения данного уравнения необходимо знать некоторые тригонометрические формулы и четность и нечетность тригонометрических функций, откладывать на круге отрезок и определять значения корней. Поскольку мы работаем с периодическими функциями, то в каждом периоде значения корней будут разными.

a) Решите уравнение $\sin{2x}-2\sin{(-x)}=1+\cos{(-x)}$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\displaystyle [-\frac{7\pi}{2}; -2\pi]$ .

Решение.

a) Прежде чем решать данное уравнение, нам нужно упростить его: либо свести все к одной тригонометрической функции и к одному аргументы (или к $2x$ или к $x$ ), либо разложить на множители, произведение которых будет равно нулю.

Начнем применять известные нам формулы.

Синус двойного аргумента

Формула синуса двойного аргумента:

$\sin{2x}=2\sin{x} \cdot \cos{x}$

Четность и нечетность тригонометрических функций

Формулы четности и нечетности тригонометрических функций:

$\sin{(-x)}=-\sin{x}$

$\cos{(-x)}=\cos{(x)}$

Применим эти формулы к нашему уравнению:

$2\sin{x} \cdot \cos{x}+2\sin{x}=1+\cos{x}$

$2\sin{x} \cdot \cos{x}+2\sin{x}-(1+\cos{x})=0$

$(2\sin{x}-1)(\cos{x}+1)=0$

Вот мы и разложили левую часть на множители. И наше уравнение распадается на два простых уравнения.

Произведение двух множителей равно нулю, если или первый множитель равен нулю, или второй множитель равен нулю.

Получаем:

$2\sin{x}-1=0$ или $\cos{x}+1=0$

Решим первое уравнение:

$2\sin{x}-1=0$

$\sin{x}=\frac{1}{2}$

Посмотрим, где на тригонометрическом круге это значение и какой угол мы получаем:

Решение уравнения на тригонометрическом круге — Решение уравнения sinx=½ на тригонометрическом круге

$\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi k$ , где $k\in Z$ .

$\displaystyle x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$ , где $n \in Z$ .

Решим второе уравнение:

$\cos{x}+1=0$

$\cos{x}=-1$ .

Решением этого уравнения будет $\displaystyle x=\pi+2\pi m$ , где $m \in Z$ .

На тригонометрическом круге решение второго уравнения:

Решение тригонометрического уравнения cosx=-1 на тригонометрическом круге

Ответ на пункт a) задания будет такой:

$\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi k$ , где $k \in Z$ ,

$\displaystyle x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$ , где $n \in Z$ ,

$\displaystyle x_3=\pi+2\pi m$ , где $m \in Z$ .

б) Найдем корни уравнения, которые принадлежат отрезку $\displaystyle [-\frac{7\pi}{2}; -2\pi]$ .

На помощь нам придет тригонометрический круг. Отметим на нем отрезок и нанесем корни, которые в него попали. Затем вычислим их значения.

Отрицательные углы на тригонометрическом круге откладываются по часовой стрелке. Начинаем двигаться от нуля — это единица на оси x и затем откладываем по часовой стрелке по четвертинке круга и считаем:

$\displaystyle \frac{-\pi}{2}$ ,
$\displaystyle \frac{-2\pi}{2}=-\pi$ ,
$\displaystyle \frac{-3\pi}{2}$ ,
$\displaystyle \frac{-4\pi}{2}=-2\pi$ (замечаем эту точку и от нее начинаем отмечать отрезок),
$\displaystyle \frac{-5\pi}{2}$ ,
$\displaystyle \frac{-6\pi}{2}=-3\pi$ ,
$\displaystyle \frac{-7\pi}{2}$ .

Тригонометрический круг с отмеченным отрезком $\displaystyle [-\frac{7\pi}{2}; -2\pi]$

Теперь отметим на этом отрезке точки — корни уравнения, заметим, что корень $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ в отрезок не вошел.

Углы входящие в указанный отрезок — Корни уравнения, входящие в указанный отрезок.

Если первый корень сразу виден: $x=-3\pi$ , то второй корень надо определить. Он расположен на расстоянии $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ от корня $-3\pi$ , если двигаться по часовой стрелке.

Тогда второй корень можно найти:

$\displaystyle -3\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{-18\pi-\pi}{6}=\frac{-19\pi}{6}$ .

Ответ на пункт б) будет: $-3\pi$ и $\displaystyle \frac{-19\pi}{6}$ .

Ответ: а) $\displaystyle \frac{\pi}{6}+2\pi k$ , где $k \in Z$ , $\displaystyle \frac{5\pi}{6}+2\pi n$ , где $n \in Z$ , $\displaystyle \pi+2\pi m$ , где $m \in Z$ .

б) $\displaystyle \frac{-19\pi}{6}$ ; $-3\pi$ .