Решите уравнение sin2x-2sin (-x)=1+cos (-x)

Решите уравнение sin2x-2sin(-x)=1+cos(-x) ЕГЭ по математике профильный уровень
В задании нужно решить тригонометрическое уравнение, затем определить какие корни попали в указанный отрезок на тригонометрическом круге. Для решения данного уравнения необходимо знать некоторые тригонометрические формулы и четность и нечетность тригонометрических функций, откладывать на круге отрезок и определять значения корней. Поскольку мы работаем с периодическими функциями, то в каждом периоде значения корней будут разными.

a) Решите уравнение \sin{2x}-2\sin{(-x)}=1+\cos{(-x)}.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \displaystyle [-\frac{7\pi}{2}; -2\pi].

Решение.

a) Прежде чем решать данное уравнение, нам нужно упростить его: либо свести все к одной тригонометрической функции и к одному аргументы (или к 2x или к x), либо разложить на множители, произведение которых будет равно нулю.

Начнем применять известные нам формулы.

Синус двойного аргумента
Формула синуса двойного аргумента:

    \[\sin{2x}=2\sin{x} \cdot \cos{x}\]


Четность и нечетность тригонометрических функций
Формулы четности и нечетности тригонометрических функций:

    \[\sin{(-x)}=-\sin{x}\]

    \[\cos{(-x)}=\cos{(x)}\]

Применим эти формулы к нашему уравнению:

2\sin{x} \cdot \cos{x}+2\sin{x}=1+\cos{x}

2\sin{x} \cdot \cos{x}+2\sin{x}-(1+\cos{x})=0

(2\sin{x}-1)(\cos{x}+1)=0

Вот мы и разложили левую часть на множители. И наше уравнение распадается на два простых уравнения.

Произведение двух множителей равно нулю, если или первый множитель равен нулю, или второй множитель равен нулю.

Получаем:

2\sin{x}-1=0  или \cos{x}+1=0

Решим первое уравнение:

2\sin{x}-1=0

\sin{x}=\frac{1}{2}

Посмотрим, где на тригонометрическом круге это значение и какой угол мы получаем:

Решение уравнения на тригонометрическом круге
Решение уравнения sinx=½ на тригонометрическом круге

\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi k, где k\in Z.

\displaystyle x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, где n \in Z.

Решим второе уравнение:

\cos{x}+1=0

\cos{x}=-1.

Решением этого уравнения будет \displaystyle x=\pi+2\pi m, где m \in Z.

На тригонометрическом круге решение второго уравнения:

Решение тригонометрического уравнения cosx=-1 на тригонометрическом круге
Решение тригонометрического уравнения cosx=-1 на тригонометрическом круге

Ответ на пункт a) задания будет такой:

\displaystyle x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi k, где k \in Z,

\displaystyle x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n, где n \in Z,

\displaystyle x_3=\pi+2\pi m, где m \in Z.

б) Найдем корни уравнения, которые принадлежат отрезку \displaystyle [-\frac{7\pi}{2}; -2\pi].

На помощь нам придет тригонометрический круг. Отметим на нем отрезок и нанесем корни, которые в него попали. Затем вычислим их значения.

Отрицательные углы на тригонометрическом круге откладываются по часовой стрелке. Начинаем двигаться от нуля — это единица на оси x и затем откладываем по часовой стрелке по четвертинке круга и считаем:

  • \displaystyle \frac{-\pi}{2},
  • \displaystyle \frac{-2\pi}{2}=-\pi,
  • \displaystyle \frac{-3\pi}{2},
  • \displaystyle \frac{-4\pi}{2}=-2\pi (замечаем эту точку и от нее начинаем отмечать отрезок),
  • \displaystyle \frac{-5\pi}{2},
  • \displaystyle \frac{-6\pi}{2}=-3\pi,
  • \displaystyle \frac{-7\pi}{2}.

Тригонометрический круг с отмеченным отрезком
Тригонометрический круг с отмеченным отрезком \displaystyle [-\frac{7\pi}{2}; -2\pi]

Теперь отметим на этом отрезке точки — корни уравнения, заметим, что корень \displaystyle \frac{\pi}{6} в отрезок не вошел.

Углы входящие в указанный отрезок
Корни уравнения, входящие в указанный отрезок.

Если первый корень сразу виден: x=-3\pi, то второй корень надо определить. Он расположен на расстоянии \displaystyle \frac{\pi}{6} от корня -3\pi, если двигаться по часовой стрелке.

Тогда второй корень можно найти:

\displaystyle -3\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{-18\pi-\pi}{6}=\frac{-19\pi}{6}.

Ответ на пункт б) будет: -3\pi и \displaystyle \frac{-19\pi}{6}.

Ответ: а)\displaystyle \frac{\pi}{6}+2\pi k, где k \in Z,    \displaystyle \frac{5\pi}{6}+2\pi n, где n \in Z,    \displaystyle \pi+2\pi m, где m \in Z.

б) \displaystyle \frac{-19\pi}{6}-3\pi.

Оцените статью
( 3 оценки, среднее 5 из 5 )
математика-повторение
1 Комментарий
Старые
Новые Популярные
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Марк

Сложная задача. Но все понятно. Я думал, что никогда не пойму как ее решать.