a) Решите уравнение .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решение.
a) Прежде чем решать данное уравнение, нам нужно упростить его: либо свести все к одной тригонометрической функции и к одному аргументы (или к или к
), либо разложить на множители, произведение которых будет равно нулю.
Начнем применять известные нам формулы.
Применим эти формулы к нашему уравнению:
Вот мы и разложили левую часть на множители. И наше уравнение распадается на два простых уравнения.
Произведение двух множителей равно нулю, если или первый множитель равен нулю, или второй множитель равен нулю.
Получаем:
или
Решим первое уравнение:
Посмотрим, где на тригонометрическом круге это значение и какой угол мы получаем:
, где
.
, где
.
Решим второе уравнение:
.
Решением этого уравнения будет , где
.
На тригонометрическом круге решение второго уравнения:
Ответ на пункт a) задания будет такой:
, где
,
, где
,
, где
.
б) Найдем корни уравнения, которые принадлежат отрезку .
На помощь нам придет тригонометрический круг. Отметим на нем отрезок и нанесем корни, которые в него попали. Затем вычислим их значения.
Отрицательные углы на тригонометрическом круге откладываются по часовой стрелке. Начинаем двигаться от нуля — это единица на оси x и затем откладываем по часовой стрелке по четвертинке круга и считаем:
,
,
,
(замечаем эту точку и от нее начинаем отмечать отрезок),
,
,
.
Теперь отметим на этом отрезке точки — корни уравнения, заметим, что корень в отрезок не вошел.
Если первый корень сразу виден: , то второй корень надо определить. Он расположен на расстоянии
от корня
, если двигаться по часовой стрелке.
Тогда второй корень можно найти:
.
Ответ на пункт б) будет: и
.
Ответ: а), где
,
, где
,
, где
.
б) ;
.
Сложная задача. Но все понятно. Я думал, что никогда не пойму как ее решать.