Тождество что это такое в математике, тождество и уравнение в чем отличия

Очень часто в математике встречаются такие слова «тождество», «тождественно равные», «тождественное преобразование». Многие учащиеся путают значения этих слов. Давайте с вами разберемся, что означают эти слова.

В математике и, в более общем плане, в научных областях тождество — это открытие, что два математических объекта (имеющих два разных математических сценария) на самом деле являются одним и тем же объектом. В частности, тождество — это равенство между двумя выражениями, которое истинно независимо от значений различных используемых переменных. Тождества обычно используются для преобразования одного математического выражения в другое, особенно для решения уравнения.

Определение тождества

Равенство, которое является верным при любом значении, входящей в него переменной, называется тождеством. Тождество, как и уравнение, имеет переменную — x, y или любую другую букву. Разница между тождеством и уравнением заключается в том, что уравнение имеет корень — то есть значение переменной, при которой выполняется данное равенство. А в тождестве равенство должно выполняться при любом значении переменной. То есть, равенство не всегда будет тождеством.

Например, выражение:

$y \cdot 5=5$ является уравнением, поскольку верно только при $y=1$ .

А равенство $y \cdot 0=0$ является и тождеством и уравнением, так как верно при любом значении переменной $y$ , и как решение уравнения — $y$ — любое число.

Запомни

Тождественно равными называются два выражения, если соответственные значения их равны при любых значениях переменных.

Запомни

Тождественным преобразованием называется замена выражения тождественно равным ему выражением. Например, когда мы раскрываем скобки, то выражение заменяется тождественно ему равным.

Пример: $2(x+y)=2x+2y$ — это тождественное преобразование левой части выражения — получаем тождество.

Уравнение или тождество

Как и уравнение, тождество имеет переменную. Уравнение содержит вопрос: при каких значениях переменной получается равенство. Тождество — это утверждение в том, что равенство верно при любом значении переменной.

Важно!

Тождествами являются равенства, с помощью которых записываются все свойства сложения и умножения (переместительное, распределительное, сочетательное и т.д.)

Определите, где в перечисленных ниже выражениях будет тождество, а где только уравнение.

$n^2+n-12=n^2-5n+6$
$3y-4=5$
$3y+5=3(2+y)-1$
$4y+25=48$

Вы увидите, что все выражения, кроме третьего, являются уравнениями. А тождество у нас получается только в третьем выражении, так как при раскрытии скобок в правой части уравнения, мы получаем взаимоуничтожение переменных в правой и левой частях равенства, которое остается верным.

Очень часто тождества используются в тригонометрии. Вы можете посмотреть статью на эту тему подробнее: тригонометрические тождества часть 1 и тригонометрические тождества часть 2.

Например, самое известное, так называемое основное тригонометрическое тождество:

$\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$ — верно при любом значении $x$ .

Некоторые алгебраические тождества квалифицируются как «замечательные» и позволяют облегчить вычисление или факторизацию полиномиальных выражений.

Например, замечательное тождество $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ , которое истинно независимо от элементов $a$ и $b$ (например, относительных целых чисел или поля действительных чисел ...), позволяет понять методы вычисления вавилонян для выполнения умножения: