На рисунке изображен график функции f (x)=ax^2+bx+c где a, b и c — целые. Найдите f (-5)

На рисунке изображен график функции F(x)=ax^2+bx+c, где A, B и C целые. Найдите F( 5) ЕГЭ по математике профильный уровень

На рисунке изображен график функции f(x)=ax^2+bx+c, где a, b и c — целые. Найдите f(-5).

На рисунке изображен график функции F(x)=ax^2+bx+c

Решение:

Графиком функции является парабола. Чтобы найти три неизвестных нам нужно составить три уравнения для этих неизвестных. Два из них можно взять из формул для координат вершины параболы и одно, если известны координаты любой точки параболы. Вершина параболы находится в точке (4;-3).

Определение на графике функции F(x)=ax^2+bx+c точек для расчета

Известно, что координаты вершины параболы находятся по формулам:

m=\frac{-b}{2a} — координата x вершины параболы.

n=\frac{4ac-b^2}{4a} — координата y вершины параболы.

Кроме того, нам известны координаты еще трех точек параболы, возьмем любую из них. Например, точку с координатами (2;1).

Получаем три уравнения:

4=\frac{-b}{2a}

-3=\frac{4ac-b^2}{4a}

1=a \cdot 2^2+b\cdot 2+c

Получаем систему уравнений.

\left\{ \begin{aligned} 4=\frac{-b}{2a}, \\ -3=\frac{4ac-b^2}{4a}, \\ 1=a \cdot 2^2+b\cdot 2+c. \end{aligned} \right.

Из первого уравнения системы находим связь между a и b:

8a=-b,

b=-8a.

Тогда мы можем записать остальные два уравнения системы так:

\left\{ \begin{aligned} b=-8a, \\ -3=\frac{4ac-64a^2}{4a}, \\ 1=a \cdot 2^2-8a\cdot 2+c. \end{aligned} \right.

Из второго уравнения системы можно получить:

-3=\frac{4c-64a}{4} или -3=c-16a, тогда c=16a-3. Подставим в третье уравнение системы вместо c:

1=a \cdot 2^2+(-8a) \cdot 2+16a-3

Упростим:

1=4a-16a+16a-3

a=1,

тогда b=-8a=-8 и c=16-3=13.

Искомое уравнение параболы будет иметь вид: f(x)=x^2-8x+13.

Теперь определим то, что у нас спрашивают  — f(-5):

f(-5)=(-5)^2-8 \cdot (-5) +13=25+40+13=78.

Ответ: 78

Замечание
Решить задачу можно намного проще, если учесть, что коэффициент a отвечает за «ширину» параболы. Если не обращать внимания на то, что вершина параболы не находится в точке — начале координат, то видно, что это парабола y=x^2. Просто наша парабола смещена относительно оси Ox и относительно оси Oy. В дальнейшем, сравнивая параболу с известными вам параболами y=x^2, y=2x^2, мы можем сразу определить коэффициент a. В этом задании он равен 1.

Почему коэффициент а=1

Оцените статью
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
математика-повторение
Подписаться
Уведомить о
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии