Найдите наименьшее значение функции y=4/3x√x-3x+9 на отрезке [0,25; 30]

На чтение 2 мин. Просмотров 28.5k.

Найдите наименьшее значение функции $y=\frac{4}{3} x \sqrt{x}-3x+9$ на отрезке [0,25; 30].

Решение:

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции, необходимо найти критические точки функции, для этого взять производную $y'(x)$ и приравнять ее к нулю. Полученное уравнение нужно решить — корень или корни уравнения — и есть критические точки, то есть точки максимума или минимума функции. После этого, мы находим значения функции в критических точках и на границах отрезка, сравниваем их. То, значение, которое будет минимальным и есть искомое наименьшее значение функции на отрезке.

Границы отрезка тоже учитываются.

Итак, находим производную функции $y=\frac{4}{3} x \sqrt{x}-3x+9$ :

$y'(x)=\frac{4}{3}(x \sqrt{x})'-3(x)'+9$ .

Производная произведения $x \sqrt{x}$ находится по формуле:

$(uv)'=u'v+uv'$ .

У нас $u=x$ , а $v=\sqrt{x}$ , значит, $u'=1$ , $v'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Производная $x \sqrt{x}=\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}}=\frac{x+2x}{2\sqrt{x}}=\frac{3}{2} \sqrt{x}$ .

Производная функции будет иметь вид:

$y'(x)=\frac{4}{3}(x \sqrt{x})'-3(x)'+9=\frac{4}{3} \cdot \frac{3 \sqrt{x}}{2}-3=2\sqrt{x}-3$

Находим критические точки, для этого приравняем производную функции к нулю и решим полученное уравнение:

$2\sqrt{x}-3=0$

$2\sqrt{x}=3$

$\sqrt{x}=\frac{3}{2}$

$x=\frac{9}{4}$ .

Число 9/4 входит в отрезок [0,25; 30].

Найдем значение функции в точках 0,25, 9/4 и 30.

$y(0,25)=y(1/4)=\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} \sqrt{1/4}-3 \frac{1}{4}+9=\frac{1}{6}-\frac{3}{4}+9=8 \frac{5}{12}$
$y(9/4)=\frac{4}{3} \cdot \frac{9}{4} \sqrt{9/4}-3 \frac{9}{4}+9=\frac{9}{2}-\frac{27}{4}+9=\frac{18}{4}-\frac{27}{4}+\frac{36}{4}=\frac{27}{4}=6,75$
$y(30)=\frac{4}{3} \cdot 30 \sqrt{30}-3 \cdot 30+9=40 \sqrt{30}-90+9 \approx 40\cdot 5-81 \approx 200-81 \approx 119$

Очевидно, что наименьшим значением среди трех данных значений является число 6,75.
Это число и есть наименьшее значение функции $y=\frac{4}{3} x \sqrt{x}-3x+9$ на отрезке [0,25; 30].

Ответ: 6,75