Найдите наименьшее значение функции y=4/3x√x-3x+9 на отрезке [0,25; 30]

Найдите наименьшее значение функции Y ЕГЭ по математике профильный уровень

Найдите наименьшее значение функции y=\frac{4}{3} x \sqrt{x}-3x+9 на отрезке [0,25; 30].

Решение:

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции, необходимо найти критические точки функции, для этого взять производную y'(x) и приравнять ее к нулю. Полученное уравнение нужно решить — корень или корни уравнения — и есть критические точки, то есть точки максимума или минимума функции. После этого, мы находим значения функции в критических точках и на границах отрезка, сравниваем их. То, значение, которое будет минимальным и есть искомое наименьшее значение функции на отрезке.

Границы отрезка тоже учитываются.

Итак, находим производную функции y=\frac{4}{3} x \sqrt{x}-3x+9:

y'(x)=\frac{4}{3}(x \sqrt{x})'-3(x)'+9.

Производная произведения x \sqrt{x} находится по формуле:

(uv)'=u'v+uv'.

У нас u=x, а v=\sqrt{x}, значит, u'=1, v'=\frac{1}{2\sqrt{x}}

Производная x \sqrt{x}=\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}}=\frac{x+2x}{2\sqrt{x}}=\frac{3}{2} \sqrt{x}.

Производная функции будет иметь вид:

y'(x)=\frac{4}{3}(x \sqrt{x})'-3(x)'+9=\frac{4}{3} \cdot \frac{3 \sqrt{x}}{2}-3=2\sqrt{x}-3

Находим критические точки, для этого приравняем производную функции к нулю и решим полученное уравнение:

2\sqrt{x}-3=0

2\sqrt{x}=3

\sqrt{x}=\frac{3}{2}

x=\frac{9}{4}.

Число 9/4 входит в отрезок [0,25; 30].

Найдем значение функции в точках 0,25, 9/4 и 30.

  1. y(0,25)=y(1/4)=\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} \sqrt{1/4}-3 \frac{1}{4}+9=\frac{1}{6}-\frac{3}{4}+9=8 \frac{5}{12}
  2. y(9/4)=\frac{4}{3} \cdot  \frac{9}{4} \sqrt{9/4}-3 \frac{9}{4}+9=\frac{9}{2}-\frac{27}{4}+9=\frac{18}{4}-\frac{27}{4}+\frac{36}{4}=\frac{27}{4}=6,75
  3. y(30)=\frac{4}{3} \cdot 30 \sqrt{30}-3 \cdot 30+9=40 \sqrt{30}-90+9 \approx 40\cdot 5-81 \approx 200-81 \approx 119

Очевидно, что наименьшим значением среди трех данных значений является число 6,75.
Это число и есть наименьшее значение функции y=\frac{4}{3} x \sqrt{x}-3x+9 на отрезке [0,25; 30].

Ответ: 6,75

Оцените статью
( 23 оценки, среднее 4.48 из 5 )
математика-повторение
Подписаться
Уведомить о
4 комментариев
Старые
Новые Популярные
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Маня

Спасибо. Понятно объясняете.

Маня

Отлично. Спасибо.

Маня

Спасибо.

Маня

Отлично, спасибо.