Определитель матрицы второго и третьего порядков и правила вычисления

Матрица содержит в себе векторы-столбцы. Они по-разному ориентированы в пространстве. Характеристикой этого расположения и того матричного преобразования, которое может дать матрица, выступает определитель матрицы.

Содержание

Определитель матрицы 2×2

Пусть дана квадратная матрица второго порядка:

$A=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{pmatrix}$

Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ .

Определитель второго порядка записывается так:

$detA=\begin{vmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

Геометрический смысл определителя

Если нам дана квадратная матрица

$A=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{pmatrix}$

То первый столбец дает нам координаты одного вектора, а второй столбец чисел — координаты второго вектора. Начало данных векторов — в точке начала координат.

Тогда определитель матрица дает нам площадь параллелограмма, построенного на данных векторах.

Рассмотрим на примере

Пусть нам дана матрица с координатами:

$A=\begin{pmatrix} 3& 1\\ 1& 2 \end{pmatrix}$

Нарисуем координатную плоскость и отметим на ней данные векторы.

Векторы a b — Векторы $\overline{a}$ и $\overline{b}$

Где у вектора $\overline{a}$ координаты (3; 1), а у вектора $\overline{b}$ координаты (2; 1).

Теперь построим на этих векторах параллелограмм, считая, что векторы a и b его стороны. Получим:

Параллелограмм на векторах a и b — Параллелограмм на векторах $\overline{a}$ и $\overline{b}$

Площадь данного параллелограмма и будет являться определителем матрицы. Площадь данного параллелограмма $S_{ABCD}=5$ . И определитель матрицы:

$detA=\begin{vmatrix} 3& 1\\ 1& 2 \end{vmatrix}=3 \cdot 2-1 \cdot 1=6-1=5$

Однако, обычно в линейной алгебре говорят не о площади параллелограмма, а о матричном преобразовании. То есть о том, в какую фигуру матрица преобразует единичный квадрат, построенный на единичных векторах. Насколько она ее масштабирует в пространстве. То есть вот из такого квадрата (синий цвет) матричное преобразование делает параллелограмм с определенной площадью (отмечено красным цветом), равной по модулю определителю матрицы.

Матричное преобразование площади определитель матрицы

Однако иногда определитель матрицы может быть отрицательным числом. В этом случае площадь фигуры, построенной на векторах матрицы, будет равна модулю данного числа, а знак минус означает, что ориентация данной фигуры отрицательна.

Геометрический смысл определителя матрицы

Определитель показывает какой будет площадь единичного квадрата при матричном преобразовании. Она будет равна площади параллелограмма, который будет построен на векторах-столбцах матрицы. Первый столбец матрицы дает нам координаты первого вектора, а второй столбец — координаты второго вектора.

Можно расширить геометрический смысл матрицы и на матрицы другого размера.

Таким образом, определитель матрицы 1×1 дает длину вектора, 2×2 — площадь параллелограмма, 3×3 — объем параллелепипеда, а nxn — объем n-мерного параллелепипеда.

Примеры на вычисление определителя второго порядка

Вычислить определители:

a) $\begin{vmatrix} 4& 7\\ 2& 6 \end{vmatrix}$

Решение:

$\begin{vmatrix} 4& 7\\ 2& 6 \end{vmatrix}=4 \cdot 6-7 \cdot 2=24-14=10$

Ответ: 10

б) $\begin{vmatrix} m^2& nm\\ nm& n^2 \end{vmatrix}$

Решение:

$\begin{vmatrix} m^2& nm\\ nm& n^2 \end{vmatrix}=m^2 \cdot n^2-nm \cdot nm=m^2n^2-n^2m^2=0$

Ответ: 0

Определитель третьего порядка

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:

$A=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13}\\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$

Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим данной матрице, называется число:

$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{33}a_{21}-a_{11}a_{23}a_{32}$

Определитель третьего порядка будет:

$detA=\begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13}\\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}= \\ =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{33}a_{21}-a_{11}a_{23}a_{32}$

Правило треугольников

При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников (правилом Саррюса). Это правило проиллюстрируем на схеме:

Как пользоваться правилом треугольника:

На схеме есть две картинки — красная и синяя, красная картинка дает нам три положительных слагаемых в формуле определителя третьего порядка, а синяя — три отрицательных.

Умножаем так — сначала умножаем элементы матрицы по главной диагонали $a_{11}a_{22}a_{33}$ потом в вершинах одного треугольника $a_{12}a_{23}a_{31}$ и в вершинах другого треугольника: $a_{21}a_{32}a_{13}$ . Все полученные множители складываем.

Теперь обратимся к синей картинке. Тут мы начинаем сначала перемножать элементы по побочной диагонали: $a_{13}a_{22}a_{31}$ , а потом элементы в вершинах двух треугольников: $a_{11}a_{32}a_{23}$ и $a_{21}a_{12}a_{33}$ . Полученные множители записываем в формулу со знаком минус.

Примеры на вычисление определителя третьего порядка

a) Вычислить определитель матрицы:

$A=\begin{pmatrix} 2& 3 & 4\\ 6& 5 & 7 \\ 9& 0& 8 \end{pmatrix}$

Решение:

det A= $\begin{vmatrix} 2& 3 & 4\\ 6& 5 & 7 \\ 9& 0 & 8 \end{vmatrix}=2 \cdot 5 \cdot 8+ 3 \cdot 7 \cdot 9+6\cdot 0 \cdot 4 — 4 \cdot 5 \cdot 9 — 3 \cdot 6 \cdot 8 — 7 \cdot 0 \cdot 2=80+189+0-180-144-0=-55$

Ответ: det A=-55

б) Вычислить определитель матрицы 3×3:

$A=\begin{pmatrix} 2& 3 & 1\\ 1& -5 & 6\\ 2& -3& 4 \end{pmatrix}$

Решение:

Используем формулу определителя третьего порядка

det B= $\begin{vmatrix} 2& 3 & 1\\ 1& -5 & 6\\ 2& -3& 4 \end{vmatrix}=2 \cdot (-5) \cdot 4+ 3 \cdot 6 \cdot 2+1\cdot 1 \cdot (-3) — 1 \cdot (-5) \cdot 2 — 2 \cdot 6 \cdot (-3) — 3 \cdot 1 \cdot 4=-40+36-3+10+36-12=27$

Ответ: det B=27

в) Вычислите определитель единичной матрицы 3×3.

Решение:

Единичная матрица 3×3 имеет вид:

$A=\begin{pmatrix} 1& 1 & 1\\ 1& 1 & 1\\ 1& 1& 1 \end{pmatrix}$

Используем формулу определителя третьего порядка

det A= $\begin{vmatrix} 1& 1 & 1\\ 1& 1 & 1\\ 1& 1& 1 \end{vmatrix}=1 \cdot 1 \cdot 1+ 1 \cdot 1 \cdot 1+1\cdot 1 \cdot 1 — 1 \cdot 1 \cdot 1 — 1 \cdot 1 \cdot 1 — 1 \cdot 1 \cdot 1=1+1+1-1-1-1=0$

Действительно, в столбцах единичной матрицы три совпадающих вектора, на которых невозможно построить объемную фигуру, объем которой и определяет определитель матрицы третьего порядка. Поэтому мы и получили число 0.

Вообще говоря, любая матрица с одинаковыми строками и столбцами дает определитель, равный нулю. Можете проверить самостоятельно.

Ответ: 0

Разложение определителя по строке или столбцу, а также его свойства, миноры и дополнения элементов определителя рассмотрим далее.