Определитель матрицы

Матрица содержит в себе векторы-столбцы. Они по-разному ориентированы в пространстве. Характеристикой этого расположения и того матричного преобразования, которое может дать матрица, выступает определитель матрицы.

Определитель матрицы 2×2

Пусть дана квадратная матрица второго порядка:

$$A=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{pmatrix}$$

Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$.

Определитель второго порядка записывается так:

$$detA=\begin{vmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$

Геометрический смысл определителя

Если нам дана квадратная матрица

$$A=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{pmatrix}$$

То первый столбец дает нам координаты одного вектора, а второй столбец чисел — координаты второго вектора. Начало данных векторов — в точке начала координат.

Тогда определитель матрица дает нам площадь параллелограмма, построенного на данных векторах.

Рассмотрим на примере

Пусть нам дана матрица с координатами:

$$A=\begin{pmatrix} 3& 1\\ 1& 2 \end{pmatrix}$$

Нарисуем координатную плоскость и отметим на ней данные векторы.

Где у вектора $\overline{a}$ координаты (3; 1), а у вектора $\overline{b}$ координаты (2; 1).

Теперь построим на этих векторах параллелограмм, считая, что векторы a и b его стороны. Получим:

Площадь данного параллелограмма и будет являться определителем матрицы. Площадь данного параллелограмма $S_{ABCD}=5$. И определитель матрицы:

$$detA=\begin{vmatrix} 3& 1\\ 1& 2 \end{vmatrix}=3 \cdot 2-1 \cdot 1=6-1=5$$

Однако, обычно в линейной алгебре говорят не о площади параллелограмма, а о матричном преобразовании. То есть о том, в какую фигуру матрица преобразует единичный квадрат, построенный на единичных векторах. Насколько она ее масштабирует в пространстве. То есть вот из такого квадрата (синий цвет) матричное преобразование делает параллелограмм с определенной площадью (отмечено красным цветом), равной по модулю определителю матрицы.

Однако иногда определитель матрицы может быть отрицательным числом. В этом случае площадь фигуры, построенной на векторах матрицы, будет равна модулю данного числа, а знак минус означает, что ориентация данной фигуры отрицательна.

Можно расширить геометрический смысл матрицы и на матрицы другого размера.

Таким образом, определитель матрицы 1×1 дает длину вектора, 2×2 — площадь параллелограмма, 3×3 — объем параллелепипеда, а nxn — объем n-мерного параллелепипеда.

Примеры на вычисление определителя второго порядка

Вычислить определители:

a) $\begin{vmatrix} 4& 7\\ 2& 6 \end{vmatrix}$

Решение:

$\begin{vmatrix} 4& 7\\ 2& 6 \end{vmatrix}=4 \cdot 6-7 \cdot 2=24-14=10$

Ответ: 10

б) $\begin{vmatrix} m^2& nm\\ nm& n^2 \end{vmatrix}$

Решение:

$\begin{vmatrix} m^2& nm\\ nm& n^2 \end{vmatrix}=m^2 \cdot n^2-nm \cdot nm=m^2n^2-n^2m^2=0$

Ответ: 0

Определитель третьего порядка

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:

$$A=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13}\\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$

Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим данной матрице, называется число:

$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{33}a_{21}-a_{11}a_{23}a_{32}$

Определитель третьего порядка будет:

$$detA=\begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13}\\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}= \\ =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{33}a_{21}-a_{11}a_{23}a_{32}$$

Правило треугольников

При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников (правилом Саррюса). Это правило проиллюстрируем на схеме:

Как пользоваться правилом треугольника:

На схеме есть две картинки — красная и синяя, красная картинка дает нам три положительных слагаемых в формуле определителя третьего порядка, а синяя — три отрицательных.

Умножаем так — сначала умножаем элементы матрицы по главной диагонали потом в вершинах одного треугольника и в вершинах другого треугольника: . Все полученные множители складываем.

Теперь обратимся к синей картинке. Тут мы начинаем сначала перемножать элементы по побочной диагонали: , а потом элементы в вершинах двух треугольников: и . Полученные множители записываем в формулу со знаком минус.

Примеры на вычисление определителя третьего порядка

a) Вычислить определитель матрицы:

$A=\begin{pmatrix} 2& 3 & 4\\ 6& 5 & 7 \\ 9& 0& 8 \end{pmatrix}$

Решение:

det A=$\begin{vmatrix} 2& 3 & 4\\ 6& 5 & 7 \\ 9& 0 & 8 \end{vmatrix}=2 \cdot 5 \cdot 8+ 3 \cdot 7 \cdot 9+6\cdot 0 \cdot 4 — 4 \cdot 5 \cdot 9 — 3 \cdot 6 \cdot 8 — 7 \cdot 0 \cdot 2=80+189+0-180-144-0=-55$

Ответ: det A=-55

б) Вычислить определитель матрицы 3×3:

$A=\begin{pmatrix} 2& 3 & 1\\ 1& -5 & 6\\ 2& -3& 4 \end{pmatrix}$

Решение:

Используем формулу определителя третьего порядка

det B=$\begin{vmatrix} 2& 3 & 1\\ 1& -5 & 6\\ 2& -3& 4 \end{vmatrix}=2 \cdot (-5) \cdot 4+ 3 \cdot 6 \cdot 2+1\cdot 1 \cdot (-3) — 1 \cdot (-5) \cdot 2 — 2 \cdot 6 \cdot (-3) — 3 \cdot 1 \cdot 4=-40+36-3+10+36-12=27$

Ответ: det B=27

в) Вычислите определитель единичной матрицы 3×3.

Решение:

Единичная матрица 3×3 имеет вид:

$A=\begin{pmatrix} 1& 1 & 1\\ 1& 1 & 1\\ 1& 1& 1 \end{pmatrix}$

Используем формулу определителя третьего порядка

det A=$\begin{vmatrix} 1& 1 & 1\\ 1& 1 & 1\\ 1& 1& 1 \end{vmatrix}=1 \cdot 1 \cdot 1+ 1 \cdot 1 \cdot 1+1\cdot 1 \cdot 1 — 1 \cdot 1 \cdot 1 — 1 \cdot 1 \cdot 1 — 1 \cdot 1 \cdot 1=1+1+1-1-1-1=0$

Действительно, в столбцах единичной матрицы три совпадающих вектора, на которых невозможно построить объемную фигуру, объем которой и определяет определитель матрицы третьего порядка. Поэтому мы и получили число 0.

Вообще говоря, любая матрица с одинаковыми строками и столбцами дает определитель, равный нулю. Можете проверить самостоятельно.

Ответ: 0

Разложение определителя по строке или столбцу, а также его свойства, миноры и дополнения элементов определителя рассмотрим далее.