Решите уравнение 4^(x+√x-1,5)+3·4^(x-√x+1,5) -4^(x+1)=0

а) Решите уравнение \displaystyle 4^{x+\sqrt{x}-1,5}+3\cdot 4^{x-\sqrt{x}+1,5}-4^{x+1}=0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2; 6]

Решение:

а) Используя формулы свойства степени: \displaystyle a^{m+n}=a^m \cdot a^n и \displaystyle a^{m-n}=\frac{m}{n} получим:

\displaystyle \frac{4^x \cdot 4^{\sqrt{x}}}{4^{1,5}}+\frac{3 \cdot 4^x \cdot 4^{1,5}}{4^{\sqrt{x}}}-4^x \cdot 4=0

Разделим левую и правую часть на

\displaystyle 4^x. Мы можем разделить, так как \displaystyle 4^x>0 и не дает нам значения корня, так как ни при каких \displaystyle x не равно нулю.

\displaystyle \frac{4^{\sqrt{x}}}{4^{1,5}}+\frac{3 \cdot 4^{1,5}}{4^{\sqrt{x}}}-4=0

Приведем к общему знаменателю. Он будет равен \displaystyle 4^x \cdot 4^{1,5}:

\displaystyle \frac{4^{2 \sqrt{x}}+3 \cdot 4^{1,5} \cdot 4^{1,5}-4 \cdot 4^{1,5} \cdot 4^{\sqrt{x}}}{4^{1,5}\cdot 4^{\sqrt{x}}}=0

Умножим левую и правую части данного уравнения на \displaystyle 4^{1,5} \cdot 4^{\sqrt{x}}=0, тогда получаем:

\displaystyle 4^{2 \sqrt{x}}+3 \cdot 4^{1,5} \cdot 4^{1,5}-4 \cdot 4^{1,5} \cdot 4^{\sqrt{x}}=0
\displaystyle 4^{2 \sqrt{x}}+3 \cdot 4^{3} — 4^{\frac{5}{2}} \cdot 4^{\sqrt{x}}=0
\displaystyle 4^{2 \sqrt{x}}+3 \cdot 4^{3} — 32 \cdot 4^{\sqrt{x}}=0
\displaystyle 4^{2 \sqrt{x}} — 32 \cdot 4^{\sqrt{x}}+192=0

Пусть \displaystyle t=4^{\sqrt{x}}
\displaystyle t^2-32t+192=0

Найдем дискриминант: \displaystyle \frac{D}{4}=(\frac{b}{2})^2-ac=16^2-192=256-192=64=8^2

Тогда корни будут:

\displaystyle t_1=\frac{16-8}{1}=8
\displaystyle t_1=\frac{16+8}{1}=24

Перейдем к исходной переменной:

1) \displaystyle 4^{\sqrt{x_1}}=8

Приведем степени к основанию 2:

\displaystyle 2^{2 \sqrt{x_1}}=2^3

Показатели степени равны:

\displaystyle 2 \sqrt{x_1}=3
\displaystyle 4x_1=9
\displaystyle x_1=\frac{9}{4}
\displaystyle x_1=2,25

2) \displaystyle 4^{\sqrt{x_2}}=24

Прологарифмируем левую и правую части равенства логарифмом по основанию 4, получим:

\displaystyle \log_{4}{4^{\sqrt{x_2}}}=\log_{4}{24}
\displaystyle \sqrt{x_2}=\log_{4}{24}
\displaystyle x_2=\log_{4}^2{24}

Ответ a): 2,25, \displaystyle \log_{4}^2{24}

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2; 6]

Первый корень 2,25 принадлежит данному отрезку.

Второй корень проверяется вычислениями.

\displaystyle \log_{4}{24} \approx 2,3

Также принадлежит отрезку [2; 6].

Ответ б): 2,25, \displaystyle \log_{4}^2{24}

Ответ: a): 2,25, \displaystyle \log_{4}^2{24}
б): 2,25, \displaystyle \log_{4}^2{24}

В данном задании мы использовали методы решения показательных уравнений, которые вы можете посмотреть здесь.