Сложение матриц и вычитание матриц

Сложение и вычитание матриц Линейная алгебра

Рассмотрим в данной статье такие линейные операции над матрицами — сложение матриц. Дадим определение суммы матриц и приведем примеры на сложение матриц с подробным объяснением. Приведем свойства сложения матриц

Сложение матриц

Сумма матриц A и B  — это матрица C, в которой все элементы есть суммы соответствующих элементов матриц A и B. При этом сами матрицы должны иметь одинаковое строение — или быть прямоугольными типа m \times n, либо квадратными.

Сложение матриц

Итак, пусть нам даны матрицы

A = \begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13} & ... & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22} & a_{23} & ... & a_{2n} \\  \ldots & \ldots & \ldots & ...  & \ldots \\  a_{m1}& a_{m2} & a_{m3} & ... & a_{mn} \end{pmatrix}

и

B= \begin{pmatrix} b_{11}& b_{12} & b_{13} & ... & b_{1n}\\ b_{21}& b_{22} & b_{23} & ... & b_{2n} \\  \ldots & \ldots & \ldots & ...  & \ldots \\  b_{m1}& b_{m2} & b_{m3} & ... & b_{mn} \end{pmatrix}

Тогда сумма матриц C=A+B:

C= \begin{pmatrix} c_{11}& c_{12} & c_{13} & ... & c_{1n}\\ c_{21}& a_{22} & c_{23} & ... & c_{2n} \\  \ldots & \ldots & \ldots & ...  & \ldots \\  c_{m1}& c_{m2} & c_{m3} & ... & c_{mn} \end{pmatrix}

где c_{11}=a_{11}+b_{11}c_{12}=a_{12}+b_{12}c_{12}=a_{12}+b_{12}, ... , c_{1j}=a_{1j}+b_{1j}, c_{1n}=a_{1n}+b_{1n}, ..., c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}, ..., c_{mn}=a_{mn}+b_{mn}.

Примеры сложения матриц

Пример 1

Сложите матрицы A и B, если:

A= \begin{pmatrix} 2 & 5\\ 7& -3 \end{pmatrix}

и

B= \begin{pmatrix} -3 & 4\\  8& 5 \end{pmatrix}

Решение:

Матрицы A и B имеют одинаковое строение, значит мы можем их сложить, получим матрицу С:

C= \begin{pmatrix} 2+(-3) & 5+4\\ 7+8& -3+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 9\\ 15& 2 \end{pmatrix}

Пример 2

Сложить матрицы A и B, если:

A= \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4& -5 \\  5 & -3 \end{pmatrix}

и

B= \begin{pmatrix} -3 & 4 & 7\\  8& 5 & 0 \\  -1 & -2 & 9 \end{pmatrix}

Решение:

Матрицы A и B сложить нельзя, так как матрица A — это матрица 2 \times 3, а матрица B — это матрица 3 \times 2, а мы можем складывать только прямоугольные матрицы одного порядка.

Пример 3

Сложить матрицы A и B, если:

A= \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4& -5 \\  5 & -3 \end{pmatrix}

и

B= \begin{pmatrix} -3 & 4 \\  8& 5 \\  -1 & -2 \end{pmatrix}

Решение: матрицы имеют одинаковое прямоугольное строение, значит, их можно сложить:

C= \begin{pmatrix} -1 & 7\\ 12& 0 \\  10 & -6 \end{pmatrix}

Свойства сложения матриц

Так как при сложении матриц мы в основном складываем числа, то и свойства сложения чисел распространяются и на сложение матриц:

  1. Переместительный закон сложения: A+B=B+A, где A и B либо квадратные матрицы одного порядка n, либо прямоугольные матрицы одного типа m \times n.
  2. Сочетательный закон сложения (A+B)+C=A+(B+C), где A, B и C — либо квадратные матрицы одного порядка n, либо это матрицы прямоугольные размерностью m \times n.
  3. Сумма матрицы и нулевой матрицы равна исходной матрице: A+O=A.
  4. Сумма матрицы и противоположной матрицы равна нулевой матрице: A+(-A)=O.

Противоположная матрица

Противоположная матрица - определение:
Противоположной матрицей называется матрица, в которой все элементы заменены на противоположные относительно нуля.

Не путайте противоположную матрицу с обратной матрицей. Это разные матрицы.

Например, давайте найдем матрицу (-A), противоположную матрице A:

A= \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4& -5 \\  5 & -3 \end{pmatrix},

Очевидно, что это будет матрица:

-A= \begin{pmatrix} -2 & -3\\ -4& 5 \\  -5 & 3 \end{pmatrix}

Соответственно при сложении матриц A+(-A) мы получим нулевую матрицу:

A+(-A)= \begin{pmatrix} 2-2 & 3-3\\ 4-4& -5+5 \\ 5-5 & -3+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0& 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=O

Вычитание матриц

Так как любое вычитание можно заменить сложением, то вычитание матриц можно заменить сложением матриц, например, вычитание из матрицы A матрицы B: A-B это есть сложение матрицы A и матрицы, противоположной матрице B: A-B=A+(-B).

Вычитание матриц

Рассмотрим на примере: пусть нам нужно вычислить разность матриц

A= \begin{pmatrix} 10 & 5\\ 2& -7 \\  4 & -12 \end{pmatrix}

и

B= \begin{pmatrix} -2 & 8 \\  9& 6 \\  -9 & -15 \end{pmatrix}

Находим разность этих матриц, как сложение матрицы A и матрицы, противоположной матрице B:

C=A-B=A+(-B) \begin{pmatrix} 10+2 & 5+(-8) \\ 2+(-9)& -7+(-6) \\ 4+9 & -12+15 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 12 & -3 \\ -7& -13 \\ 13 & 3 \end{pmatrix}

На примере видно, что разность двух матриц — это матрица, элементы которой получены путем вычитания из соответствующих элементов первой матрицы соответствующих элементов второй матрицы.

Посмотрите еще статьи про матрицы:

Оцените статью
( 2 оценки, среднее 5 из 5 )
математика-повторение
Подписаться
Уведомить о
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии