Показательные уравнения и методы решения показательных уравнений

В 10-11 классе в курсе алгебры изучаются показательные уравнения, решение показательных уравнений является обязательным навыком, который проверяется на ЕГЭ. Рассмотрим методы решения показательных уравнений. Показательное уравнение — это уравнение, в котором переменная выступает как показатель степени некоторой другой переменной. Например, уравнение $2^x = 8$ является показательным уравнением, потому что переменная x появляется как показатель степени с основанием 2. Экспоненциальные уравнения могут иметь множество различных форм в зависимости от конкретных значений и задействованных переменных.

Как правило, экспоненциальные уравнения могут быть трудны для решения, потому что экспоненциальная функция растет очень быстро, что может затруднить поиск точного значения переменной. Однако есть несколько различных методов, которые можно использовать для решения экспоненциальных уравнений, таких как использование логарифмов или выражение уравнения в виде одного и того же основания с обеих сторон.

Показательными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестное входит в показатель степени, общий вид их таков:

$\displaystyle a^{f (x)}=a^{g (x)}$ . Решением показательного уравнения будет число или выражение, которое называется корнем уравнения. Корней может быть один или несколько. Решить уравнение это значит найти его корни.

Однако некоторые из них (сложные) еще надо к такому виду привести.

Показательные уравнения решаются после степенных преобразований, в которых могут быть использованы показатели степени дробные, нулевые, отрицательные.

Таблица основных свойств показателей степени, которые используются при решении показательных уравнений.

1	$\displaystyle a^m \cdot a^n$	$\displaystyle a^{m+n}$
2	$\displaystyle \frac{a^m}{a^n}$	$\displaystyle a^{m-n}$
3	$\displaystyle (a \cdot b)^n$	$\displaystyle a^n \cdot b^n$
4	$\displaystyle a$	$\displaystyle a^1$
5	$\displaystyle (\frac{a}{b})^n$	$\displaystyle \frac{a^n}{b^n}$
6	$\displaystyle 1$	$\displaystyle a^0$
7	$\displaystyle \sqrt[n]{a^m}$	$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$
8	$\displaystyle a^{-n}$	$\displaystyle \frac{1}{a^{n}}$
9	$\displaystyle (\frac{a}{b})^{-n}$	$\displaystyle (\frac{b}{a})^{n}$

Рассмотрим примеры решения и методы решения показательных уравнений из ЕГЭ. Они помогут вам понять, как решаются показательные уравнения и какие они могут встретиться на экзамене.

Содержание

Показательная функция

Функцию вида y=a^x, где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.
Область определения показательной функции: D (y)=R - множество всех действительных чисел.
Область значений показательной функции: E (y)=R₊-множество всех положительных чисел.
Показательная функция y=a^x возрастает при a>1.
Показательная функция y=a^x убывает при 0

График показательной функции:

Решение простейших показательных уравнений вы найдете вот в этих статьях:

Решение простейших показательных уравнений

Показательные уравнения, сводящиеся к квадратным

Повторим решение показательных уравнений на примерах.

Примеры решения показательных уравнений

Метод приведения к одному основанию

Задание 1

Решите уравнение:

$3^{2x-1}=27$

Решение:

В левой части можно сразу получить степень с основанием 3:

$3^{2x-1}=3^3$
$2x-1=3$
$2x=3+1$
$2x=4$
$x=2$

Ответ: 2

Задание 2

Решить $4^{3x-1}=4 \cdot 4^{5x+10}$

Решение:

В правой части у нас множитель 4, представим его по формуле (4) так: $4=4^1$

Нажми, чтобы посмотреть больше шагов в решении

Теперь у нас получается произведение:

4^1 \cdot 4^{5x+10}

По формуле (1) мы запишем степень с одним основанием вместо произведения степеней:

4^1 \cdot 4^{5x+10} = 4^{1+5x+10}

и получаем:

$4^{3x-1}=4^{5x+11}$

Если основания степеней равны слева и справа от знака «равно», значит, равны и показатели степеней:

$3x-1=5x+11$
$3x-5x=11+1$
$-2x=12$
$x=-6$

Таким образом, -6 — корень уравнения.

Ответ: $x=-6$

Метод деления на степень

Задание 3

Допустим нам надо решить вот такое уравнение:

$2^{5x-2}=3^{5x-2}$

Решение:

Если показатели степени одинаковые, и данные степени равны, хотя их основания разные, это значит, что данные показатели равны нулю.

$5x-2=0$
$5x=2$
$x=2/5$
$x=0,4$

Однако, данное уравнение легко решается и первым методом, если мы разделим левую и правую части равенства на $3^{5x-2}$ . Получим:

$\displaystyle \frac{2^{5x-2}}{3^{5x-2}}=1$

По формулам (2) и (6) из таблицы, проведем преобразование: $\displaystyle (\frac{2}{3})^{5x-2}=(\frac{2}{3})^0$

отсюда:

$5x-2=0$
$x=0,4$

Ответ: 0,4

Вынесение множителя за скобки

Суть метода заключается в вынесении за скобки степени с наименьшим показателем.

Чтобы решить показательное уравнение, вынеся общий множитель, можно использовать тот факт, что если два числа имеют общий множитель, то на этот множитель можно сократить, разделив оба числа на один и тот же множитель. Это можно использовать для решения экспоненциальных уравнений путем исключения общих множителей, которые появляются как в основании, так и в показателе степени уравнения.

Например, рассмотрим следующее показательное уравнение:

$a^b = а^c$

Чтобы решить это уравнение, мы можем вынести общий множитель $a^c$ , разделив обе части уравнения на $a^c$ :

$a^{b-c} = 1$

Это упрощает уравнение до:

$b-c = 0$

Решением исходного уравнения является $b = c$ .

Это всего лишь один пример того, как решить показательное уравнение, вынеся общий множитель. Решим еще несколько примеров этим методом.

Пример 4

$3^{3x+1}-2 \cdot 3^{3x}=27$

Решение: наименьшим показателем степени является $3x$ , вынесем за скобки $3^{3x}$
$3^{3x}(3-2)=27$
$3^{3x}=27$
$3^{3x}=3^3$
$3x=3$
$x=1$

Ответ: x=1

Пример 5

$3^{2x-1}+3^{2x-2}-3^{2x-4}=315$

Решение: наименьший показатель степени: $2x-4$ , тогда вынесем за скобки $3^{2x-4}$ :

$3^{2x-4}(3^3+3^2-1)=315$
$3^{2x-4}(27+9-1)=315$
$3^{2x-4} \cdot 35=315$
$3^{2x-4}=315:35$
$3^{2x-4}=9$
$3^{2x-4}=3^2$
$2x-4=2$
$2x=6$
$x=3$

Ответ: x=3

Метод подстановки и сведения к квадратному уравнению

Рассмотрим еще один вид показательных уравнений — это уравнения, которые можно с помощью подстановки привести к квадратному уравнению.

Пример 6

$5 \cdot 4^{2x}-6 \cdot 4^x+1=0$

Решение:

$5 \cdot 4^{2x}-6 \cdot 4^x+1=0$

Полагая $4^x=t$ , получим квадратное уравнение:

$5 \cdot t^{2}-6 \cdot t+1=0$

Решим его. Здесь a=5, b=-6, c=1.

Дискриминант $\displaystyle D=b^2-4ac=(-6)^2-4 \cdot 5\cdot 1=36-20=16$
$\displaystyle \sqrt{D}=4$ .

Используя формулу $\displaystyle t_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ , находим:

$\displaystyle t_{1}=\frac{-6 — 16}{10}=\frac{-22}{10}=-2,2$
$\displaystyle t_{1}=\frac{-6 + 16}{10}=\frac{10}{10}=1$

Возвращаемся к первоначальной переменной:

$4^x=-2,2$ . Это равенство невозможно, поскольку показательная функция может принимать только положительные значения.
$4^x=1$
$x=0$

Ответ: $x=0$

Пример 7

Найдите корни уравнения $\displaystyle 3^{2x}-4 \cdot 3^{x}=45$

Решение:

Выполним замену $\displaystyle 3^x=t$ :

$\displaystyle t^2-4t-45=0$

Решим с помощью теоремы Виета:

$\begin{cases} t_1+t_2 = 4, \\ t_1 \cdot t_2=-45 \end{cases}$

Подбирая корни, получаем:

$\displaystyle t_1=-5$
$\displaystyle t_2=9$

Переходим к первоначальной переменной:

$\displaystyle 3^x=-5$ . Такое равенство не существует, так как область значений показательной функции — положительные числа.
$\displaystyle 3^x=9$ . Прологарифмируем данное равенство логарифмом по основанию 3.

$\displaystyle \log_{3}{3^x}=\log_{3}9$
$\displaystyle x=2$

Ответ: 2

Здесь мы использовали логарифмирование, что это такое и как это применяется к решению экспоненциальных уравнений давайте рассмотрим на примерах.

Логарифмирование

Логарифмирование обеих частей показательного уравнения — это математическая операция, которая часто используется для решения показательных уравнений.

Пример 8

Например, рассмотрим следующее показательное уравнение:

$2^{x} = 8$

Решение: Чтобы решить это уравнение с помощью логарифмов, мы можем взять логарифм обеих частей уравнения. Это дает нам:

$\log_2(2^x) = \log_2(8)$

Поскольку логарифм степени равен показателю степени, мы можем упростить левую часть уравнения до:

$x = \log_2(8)$

Чтобы найти значение x, мы можем использовать свойство логарифмов, которое гласит, что $\log_a(b) = m$ эквивалентно $a^m = b$ . В этом случае у нас есть $2^m = 8$ , поэтому x=3.

Ответ: x=3.

Пример 9

Решить $\displaystyle e^{2x}=55$

Решение: прологарифмируем левую и правую части равенства логарифмом по основанию $e$ — натуральным логарифмом $\ln$
$\displaystyle \ln e^{2x}=\ln 55$
$\displaystyle 2x=\ln 55$
$\displaystyle x=\frac{1}{2}\ln 55$

Ответ: $\displaystyle x=\frac{1}{2}\ln 55$

Пример 10

$\displaystyle 3^x \cdot 5^{2x}=150$

Решение: Прологарифмируем левую и правую части уравнения логарифмом по основанию 150:

$\displaystyle \log_{150}(3^x \cdot 5^{2x})=\log_{150}150$
$\displaystyle \log_{150}3^x+\log_{150}5^{2x}=1$

Нажми, чтобы посмотреть больше шагов в решении

\displaystyle x\log_{150}3+2x\log_{150}5=1

\displaystyle x (\log_{150}3+2\log_{150}5)=1

\displaystyle x (\log_{150}3+\log_{150}5^2)=1

\displaystyle x (\log_{150}3 +\log_{150}25)=1

\displaystyle x \log_{150}75=1

\displaystyle x= \frac{1}{\log_{150}75}=\log_{75}{150}

Ответ: $\displaystyle \log_{75}{150}$

Далее мы рассмотрим показательное неравенство и систему показательных уравнений и неравенств.

5 комментариев

Старые

Новые Популярные

Межтекстовые Отзывы

Посмотреть все комментарии

Ликуся

Спасибо. Это супер.

Ответить

Verthole

Great. Thanks.

Джоржиана

Показательное уравнение – это уравнение, в котором переменная стоит в показателе степени. Вот пример показательного уравнения:

2 ^ х = 8

Мы можем переписать уравнение как:

2 ^ х = 2 ^ 3

Если основания степеней равны, то и показатели степени равны друг другу:

х = 3

Следовательно, решение этого уравнения равно х = 3.

Марик

Ответить на Джоржиана

Переписала? Я так тоже могу.

А ты реши вот это: (1/3)^-x=27

Сама можешь?

Pavel

Ответить на Марик

Прологарифмировать по основанию 1/3 левую и правую часть получим: log (1/3^-x) по основанию1/3=log27 по основанию 1/3; отсюда -x=-3 значит x=3. Ответ: x=3

Последний раз редактировалось 1 год назад Pavel ем